Le nouveau stade

Énoncé

Un architecte s'est vu confier l'organisation des tribunes d'un nouveau stade, dont on sait qu'il peut contenir entre  \(25~000\)  et  \(30~000\)  places assises. Afin d'optimiser l'espace, l'architecte a étudié plusieurs dispositions des sièges dans les tribunes.

Il compte qu'en formant des rangées de  \(23\)  sièges, il restera  \(5\)  sièges à placer ; qu'en formant des rangées de  \(19\)  sièges, il en restera  \(6\)  à répartir ; et enfin qu'en alignant des rangées de  \(12\)  sièges, il restera  \(7\)  sièges à placer.

On cherche à déterminer le nombre total exact de sièges dans le futur stade.

1. Soit \(N\) le nombre total de sièges. Traduire l'énoncé par un système de trois congruences.

2. Montrer que, si \(N \in \mathbb{N}\) est une solution du système, alors il existe deux entiers naturels \(x\)  et  \(y\) tels que \(23x-19y=1\) .

3. Résoudre l'équation   \(23x-19y=1\)  dans  \(\mathbb{Z}^2\) .

4. Montrer qu'il existe deux entiers naturels  \(z\)  et  \(t\)  tels que  \(12z-437t=113\) .

5. Résoudre l'équation  \(12z-437t=113\)  dans  \(\mathbb{Z}^2\) .

6. Résoudre le problème, c'est-à-dire déterminer le nombre  \(N\)  de sièges dans le nouveau stade.